Numerische Behandlung nichtlinearer Integrodifferential-und by K. Graf Finck von Finckenstein, D. Düchs (auth.), R.

By K. Graf Finck von Finckenstein, D. Düchs (auth.), R. Ansorge, W. Törnig (eds.)

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1- (tn+k-" ,h) vn+k-~ ,- Durch vollstandige Induktion erhalt man nun obige Abschatzung: Fur i = 1 ist sie richtig. Es ist namlich =all n+k-~ 1 o( v~ I ~"II 1 o ~h+k-ill ll~fn+k-ill. k A(tv,h) II " m 6 (l+T) - (10) 1 n und alle h ~ [O,h 0 ] mit tn+k- 1 " T. Beweis: Man wahle ein mE IN 0 beliebig fest. 0 ~ 1 richtig. Sie Fiir q = n - m = 0 ist die Abschatzung (10) wegen sei nun weiter bis zu einem q - 1 = n - m - 1 ~ 0 richtig.

Kreth Einleitung In dieser Arbeit werden in einern Banachraurn di zur L6sung quasiline- t ~ arer Anfangswertaufgaben der Form ut F(t,u)u + G(t)u, 0 u(O) u < T, 0 halbimplizite Differenzenverfahren der Form betrachtet. An die Verfahren werden schwachere Regularitatsforderungen gestellt als in [8]. Die Stabilitatsdefinition wird im wesentlichen aus [5] ubernornmen. Der Konvergenzbegriff wird aber dahingehend verscharft, daB sowohl nichtlineare Rechenfehler einbezogen werden, als auch die linearisierte Aufgabe irn Sinne der L-Konvergenz fUr halblineare Anfangswertaufgaben (vgl, [3]) mit erfaBt wird, Mit dieser Stabilitats- und Konvergenzdefinition lassen sich 1 l Auszug aus der Dissertation des Verfassers an der Universitat Hamburg 34 die Beweisideen flir implizite halblineare Differenzenverfahren aus [4] auf halbimplizite quasilineare Verfahren obiger Art libertragen, so daB sich ein Aquivalenzsatz ergibt, der eine Verallgemeinerung [lJ, [4), [6) und [7) darstellt.

ZN = 1 fallt SP(L,A,z) mit dem Raum der "generalized spline functions", (vergleiche [ 1 J), zusammen, wahrend im Falle z 1 = z 2 = • • • = zN = q der Raum S (L, A, z) mit dem Raum der "deficient 5pline p functions c£ deficiency q" (siehe [ 1 J) identisch ist. FUr z 1 = z 2 = ... = zN = m und L = Dm fallt SP(L,~,z) mit den stUckweise polynomialen Funktionen zusammen. BezUglich naherer Einzelheiten verweisen wir auf [17] . 2: Die Funktion s : [a,b] - ~ wird als ~ lynomiale Spline-Funktion fUr A ~ Grade m und dem 11 Defekt 11 q, (q $ m), bezeichnet, falls die folgenden Beziehungen gelten: (i) 1 $ i $ N s E nm, x E Jxi,xi+ 1 [ , k k D s(xi+) , fUr jedes k , O-s k s m-q, (ii) D s(xi-) 1 $ 1 S N .

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