Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler, Band 1: by Lothar Papula

By Lothar Papula

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Eine Betragsgleichung entha¨lt dabei mindestens einen in Betragsstrichen stehenden Term mit der Unbekannten x. Zuna¨chst aber mu¨ssen wir uns mit den Eigenschaften der sog. Betragsfunktion vertraut machen. 1 Definition der Betragsfunktion Definitionsgema¨ß verstehen wir unter dem Betrag j x j einer reellen Zahl x den Abstand dieser Zahl von der Zahl 0. & Beispiel j 4 j ¼ 4, j À3 j ¼ 3 (Bild I-16) | – 3| | 4| Bild I-16 –3 0 4 x & Der Abstand zweier Zahlen x und a auf der Zahlengerade ist dann j x À a j (siehe Bild I-17): |x – a| Bild I-17 a x x Der Betrag j x j einer reellen Zahl x kann auch als eine Funktion von x aufgefasst werden.

2. Eine Ungleichung darf mit einer beliebigen positiven Zahl multipliziert oder durch eine solche Zahl dividiert werden. 3. Eine Ungleichung darf mit einer beliebigen negativen Zahl multipliziert oder durch eine solche Zahl dividiert werden, wenn gleichzeitig das Relationszeichen der Ungleichung wie folgt gea¨ndert wird: Aus aus aus aus < > ! , <, . Anmerkung Die Operationen (2) und (3) gelten sinngema¨ß auch fu¨r Multiplikationen und Divisionen mit einem Term T ðxÞ 6¼ 0, wobei jeweils durch Fallunterscheidung zu pru¨fen ist, welches Vorzeichen der Term annimmt (siehe hierzu auch das nachfolgende 1.

Wir erhalten zwei neue (verschlu¨sselte) Gleichungen mit den unbekannten Gro¨ßen y und z, die wir durch (I*) und (II*) kennzeichnen: y z ci (I) À1 1 1 0 (II) ð1 Á IÞ 1 À1 À3 1 À2 1 5 0 (III) ð5 Á IÞ 5 À5 1 5 4 5 3 0 À2 À1 5 6 9 3 (I*) (II*) |fflfflfflfflffl{zfflfflfflfflffl} x Leerzeilen einplanen! Nun addieren wir zur 2. Zeile (II*) das 3-fache der 1. Zeile (I*) und erhalten in verschlu¨sselter Form eine Gleichung (I**) mit der Unbekannten z. Das Rechenschema ist jetzt ausgefu¨llt und besitzt die folgende Gestalt: x y z ci (I) À1 1 1 0 1 (II) ð1 Á IÞ 1 À1 À3 1 À2 1 5 0 1 1 (III) ð5 Á IÞ 5 À5 1 5 4 5 3 0 13 5 (I*) À2 À1 5 2 (II*) ð3 Á I*Þ 6 À6 9 À3 3 15 18 6 6 18 24 (I**) si Eingebaut wurde noch als Rechenkontrolle die sog.

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