Intégrale de chemin en mécanique quantique : Introduction by Jean Zinn-Justin

By Jean Zinn-Justin

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7. Evaluer par la methode du col 1'integrale en fonction du parametre reel a dans la limite n —» oo. On pourra exprimer le resultat sous forme parametrique en fonction de la position du col. Solution. On observe qu'on peut ecrire 1'integrale 1. Quelques preliminaries mathematiques 29 La position du col est donnee par et Cette equation a done une solution unique x(o) pour tout a. II est commode de parametrer le resultat en fonction de x(o). On substitue Au col et done On note que la methode du col ne s'applique pas pour a = 0 ou f " ( x ) s'annule au col.

La demonstration par diagonalisation, utilisee dans le cas des matrices reelles, peut se generaliser au cas complexe. Toute matrice complexe symetrique A peut en effet se mettre sous la forme ou la matrice U est unitaire et la matrice D diagonale positive. 7). 4) se factorise alors et le resultat est le produit de 1'integrale par le jacobien (ici non trivial) du changement de variables. Done 1. 5). Representation de matrices complexes. 54) n'est peut etre pas universellement connue; comme un exercice nous en rappelons la demonstration.

Exprimant que tous les termes a partir de 1'ordre n + I s'annulent, on trouve des identites entre les traces des puissances de la matrice K. Une application. Soit HQ un hamiltonien quantique avec un spectre discret de valeurs propres En et vecteurs propres |n). Considerons 1'hamiltonien perturbe H = HQ + V. Nous aliens calculer le spectre de H au second ordre dans la perturbation V en utilisant le developpement precedent. Nous posons Nous partons de 1'identite Nous developpons maintenant les deux expressions en puissances de V.

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