Elements finis by Ern A.

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Nf }. Ceci équivaut au fait que dim P 5 card S 5 nf , ∀p ∈ P , p(ai ) 5 0, i ∈ {1, . . , nf } =⇒ (p 5 0), ou encore au fait qu’il existe une base de P, notée {u1 , . . , unf }, telle que si (uj ) 5 uj (ai ) 5 dij , i, j ∈ {1, . . , nf }. 3) On rappelle que dij désigne le symbole de Kronecker tel que dij 5 1 si i 5 j et dij 5 0 si i fi j. Les fonctions {u1 , . . , unf } sont appelées les fonctions de forme de l’élément fini. Pour i ∈ {1, . . , nf }, la fonction de forme ui vaut 1 au nœud ai et 0 aux autres nœuds.

18) m Nma . 3 Notions élémentaires sur les maillages Dans les applications, on est souvent amené à considérer une suite de maillages de plus en plus fins, ce qu’on notera conventionnellement {Th }h>0 . On parle de famille de maillages. 14 (Famille de maillages quasi-uniformes). On dit que la famille {Th }h>0 est quasi-uniforme s’il existe une constante c telle que ∀h, ∀K ∈ Th , hK c h. 21) m51 où V désigne l’adhérence du domaine V. Par contre, si le domaine V est à frontière courbe, le recouvrement n’est pas exact en général ; dans ces condima tions, on note Vh l’intérieur de N m51 Km , si bien que Nma Km .

K ; k , 1. On considère k , i0 1 . . 16) et on note S les degrés de liberté associés à ces nœuds. Alors, nf 5 dim PRk et le triplet {K , PRk , S} est un élément fini de Lagrange, appelé élément fini de Lagrange prismatique. Cet élément fini est de degré k. 0 i0 , . . 3 présente les nœuds et les fonctions de forme pour les éléments finis de Lagrange prismatiques de degré k ∈ {1, 2, 3} en dimension 3. En notant (l0 , l1 , l2 ; t) les coordonnées prismatiques du point courant dans le prisme, les fonctions de forme s’expriment comme un produit tensoriel des fonctions de forme associées au triangle K (et qui font intervenir les coordonnées barycentriques (l0 , l1 , l2 )) et des polynômes d’interpolation de Lagrange unidimensionnels en la variable t.

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